解：极大值至少为1。我们尝试把最大那个数的影响去掉。

最大那个数所在的一层(指一个三维十字架)都是不可能成为最大值的。

考虑容斥。我们试图求除了最大值以外至少有k个极大值的概率。

我们钦定某k个位置是极大值，且钦定顺序。这样的方案数有n^i↓m^i↓L^i↓种。

考虑每种方案的概率。从小到大考虑，对于最小的那个极大值，如果是极大值，就要大于一个三维十字架中的所有数，这样的概率是1 / 集合大小。

对于次小极大值，它要大于自己的三维十字架和最小值的三维十字架的并。概率还是1 / 集合大小。

于是依次考虑完每个极大值，把概率求积即可。容斥的时候记得乘组合数。

1 #include 
      
        2  3 typedef long long LL; 4  5 const int MO = 998244353, N = 5000010; 6  7 int n, m, K, L; 8 int fac[N], inv[N], invn[N]; 9 10 inline int qpow(int a, int b) {11     int ans = 1;12     while(b) {13         if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % MO;14         a = 1ll * a * a % MO;15         b = b >> 1;16     }17     return ans;18 }19 inline int Inv(int x) {20     if(x < N) return inv[x];21     return qpow(x, MO - 2);22 }23 inline int C(int n, int m) {24     return 1ll * fac[n] * invn[m] % MO * invn[n - m] % MO;25 }26 inline int Down(int n, int k) {27     return 1ll * fac[n] * invn[n - k] % MO;28 }29 inline int iDown(int n, int k) {30     return 1ll * invn[n] * fac[n - k] % MO;31 }32 inline int dec(int x) {33     return 1ll * (n - x) * (m - x) % MO * (L - x) % MO;34 }35 36 inline void solve() {37     38     scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &L, &K);39     int ans = 0, lm = std::min(std::min(n, m), L);40     int V = 1ll * n * m % MO * L % MO;41     for(int i = K - 1; i <= lm; i++) {42         int p = 1;43         for(int j = 1; j <= i; j++) {44             p = 1ll * p * (n - i + j - 1) % MO * (m - i + j - 1) % MO * (L - i + j - 1) % MO;45             p = 1ll * Inv((V - dec(j) + MO) % MO) * p % MO;46         }47         p = 1ll * p * C(i, K - 1) % MO;48         if((K - i) & 1) {49             ans = (ans + p) % MO;50         }51         else {52             ans = (ans - p) % MO;53         }54     }55     printf("%d\n", (ans + MO) % MO);56     return;57 }58 59 int main() {60 61     fac[0] = inv[0] = invn[0] = 1;62     fac[1] = inv[1] = invn[1] = 1;63     for(int i = 2; i < N; i++) {64         fac[i] = 1ll * i * fac[i - 1] % MO;65         inv[i] = 1ll * inv[MO % i] * (MO - MO / i) % MO;66         invn[i] = 1ll * inv[i] * invn[i - 1] % MO;67     }68     69     //printf(" = %lld \n", 142606337ll * fac[8] % MO);70     71     int T;72     scanf("%d", &T);73     while(T--) {74         solve();75     }76     77     return 0;78 }
      

1 #include 
      
        2  3 #pragma GCC optimize("Ofast")  4  5 typedef long long LL; 6  7 const int MO = 998244353, N = 5000010; 8  9 int n, m, K, L;10 int fac[N], inv[N], invn[N], val[N], ival[N], D[N];11 12 inline int qpow(int a, int b) {13     int ans = 1;14     while(b) {15         if(b & 1) ans = 1ll * ans * a % MO;16         a = 1ll * a * a % MO;17         b = b >> 1;18     }19     return ans;20 }21 inline int Inv(int x) {22     if(x < N && x >= 0) return inv[x];23     return qpow(x, MO - 2);24 }25 inline int C(int n, int m) {26     if(n < 0 || m < 0 || n < m) return 0;27     return 1ll * fac[n] * invn[m] % MO * invn[n - m] % MO;28 }29 inline int Down(int n, int k) {30     return 1ll * fac[n] * invn[n - k] % MO;31 }32 inline int iDown(int n, int k) {33     return 1ll * invn[n] * fac[n - k] % MO;34 }35 inline int dec(int x) {36     return 1ll * (n - x) * (m - x) % MO * (L - x) % MO;37 }38 39 inline void solve() {40     41     scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &L, &K);42     K--;43     int ans(0), lm(std::min(std::min(n, m), L));44     int V = 1ll * n * m % MO * L % MO;45     46     val[0] = 1;47     D[0] = V;48     for(register int i(1); i <= lm; ++i) {49         D[i] = (dec(i));50         val[i] = 1ll * val[i - 1] * (V - D[i]) % MO;51     }52     ival[lm] = qpow(val[lm], MO - 2);53     for(register int i(lm - 1); i >= K; --i) {54         ival[i] = 1ll * ival[i + 1] * (V - D[i + 1]) % MO;55     }56     int t = 1ll * Down(n - 1, K - 1) * Down(m - 1, K - 1) % MO * Down(L - 1, K - 1) % MO;57     for(register int i(K); i <= lm; ++i) {58         //t = 1ll * t * (n - i) % MO * (m - i) % MO * (L - i) % MO * inv[i - K] % MO;59         t = 1ll * t * D[i] % MO * inv[i - K] % MO;60         int p = 1ll * t * ival[i] % MO * fac[i] % MO;61         ((K + i) & 1) ? ans -= p : ans += p;62         if(ans >= MO) ans -= MO;63         if(ans < 0) ans += MO;64     }65     ans = 1ll * ans * invn[K] % MO;66     printf("%d\n", ans < 0 ? ans + MO : ans);67     return;68 }69 70 /*71 172 1000 1000 1000 1073 */74 75 int main() {76 77     fac[0] = inv[0] = invn[0] = 1;78     fac[1] = inv[1] = invn[1] = 1;79     for(register int i(2); i < N; ++i) {80         fac[i] = 1ll * i * fac[i - 1] % MO;81         inv[i] = 1ll * inv[MO % i] * (MO - MO / i) % MO;82         invn[i] = 1ll * inv[i] * invn[i - 1] % MO;83     }84     85     //printf(" = %lld \n", 142606337ll * fac[8] % MO);86     87     int T;88     scanf("%d", &T);89     while(T--) {90         solve();91     }92     93     return 0;94 }
      

这题非常卡常...